A Square and a Cube in 15 Minutes 🔥 | Class 8 Maths | Rapid Revision

PW Class 8

6 chapters5 takeaways11 key terms5 questions

Overview

यह वीडियो क्लास 8 गणित के 'वर्ग और घन' (Squares and Cubes) चैप्टर का 15 मिनट में क्विक रिवीजन कराता है। इसमें वर्ग (square), पूर्ण वर्ग (perfect square), वर्गमूल (square root), घन (cube), और घनमूल (cube root) की परिभाषाएं, उनके गुणधर्म, और उनसे संबंधित पैटर्न समझाए गए हैं। वीडियो में उदाहरणों के साथ यह भी बताया गया है कि कैसे पहचानें कि कोई संख्या पूर्ण वर्ग या घन है, और उनसे जुड़े सवालों को कैसे हल करें। यह छात्रों को परीक्षा से पहले जल्दी से कॉन्सेप्ट्स को रिवाइज करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

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Chapters

किसी संख्या का वर्ग (square) निकालने के लिए, उस संख्या को उसी से गुणा किया जाता है (जैसे 5 का वर्ग 5 * 5 = 25)।
पूर्ण वर्ग (perfect square) वह संख्या होती है जो किसी अन्य पूर्णांक का वर्ग होती है (जैसे 9, 16, 25)।
किसी संख्या को पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानने के लिए, उसके गुणनखंडों (factors) को समान संख्याओं के जोड़ों (pairs) में लिखा जा सकता है (जैसे 36 = 6 * 6)।
पूर्ण वर्ग संख्याओं के गुणनखंडों (factors) की संख्या हमेशा विषम (odd) होती है।

यह समझना कि वर्ग और पूर्ण वर्ग क्या होते हैं, गणितीय गणनाओं और पैटर्न को पहचानने के लिए एक बुनियादी कॉन्सेप्ट है।

जैसे 4 का वर्ग 16 होता है, इसलिए 16 एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि इसे 4 * 4 के रूप में लिखा जा सकता है। 16 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8, 16 हैं, जिनकी संख्या 5 (विषम) है।

पूर्ण वर्ग संख्याएं कभी भी 2, 3, 7, या 8 पर समाप्त नहीं होती हैं।
किसी संख्या के वर्ग की अंतिम इकाई का अंक (unit digit) केवल उस संख्या की इकाई के अंक के वर्ग की अंतिम इकाई के अंक से निर्धारित होता है (जैसे 1748 का वर्ग 4 पर समाप्त होगा क्योंकि 8 का वर्ग 64 होता है)।
जिन संख्याओं के अंत में विषम संख्या में शून्य (odd number of zeros) होते हैं, वे कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकतीं; पूर्ण वर्गों में हमेशा शून्य की सम संख्या (even number of zeros) होती है।

ये प्रॉपर्टीज हमें जल्दी से यह पहचानने में मदद करती हैं कि कोई संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, और किसी बड़ी संख्या के वर्ग की अंतिम इकाई का अंक क्या होगा।

यदि हमें 7 का वर्ग निकालना है, तो 7 का वर्ग 49 होता है, इसलिए वर्ग 9 पर समाप्त होगा। यदि हमें 70 का वर्ग निकालना है, तो 7 का वर्ग 49 और एक शून्य दोगुना होकर दो शून्य हो जाते हैं, जिससे 4900 बनता है।

लगातार n विषम संख्याओं (1 से शुरू होकर) का योग n के वर्ग के बराबर होता है (जैसे 1+3+5 = 9, जो 3 का वर्ग है)।
दो लगातार पूर्णांकों n और n+1 के वर्गों के बीच (n^2 और (n+1)^2 के बीच) ठीक 2n नॉन-परफेक्ट स्क्वायर संख्याएं होती हैं।
दो लगातार त्रिकोणीय संख्याओं (triangular numbers) का योग हमेशा एक पूर्ण वर्ग होता है (जैसे 1+3=4, 3+6=9)।

यह पैटर्न हमें वर्गों को जोड़ने और समझने के नए तरीके प्रदान करते हैं, और यह भी बताते हैं कि वर्गों और अन्य संख्याओं के बीच क्या संबंध है।

3 के वर्ग (9) और 4 के वर्ग (16) के बीच 2 * 3 = 6 नॉन-परफेक्ट स्क्वायर संख्याएं हैं (10, 11, 12, 13, 14, 15)।

वर्गमूल (square root) वह संख्या होती है जिसे उसी से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है (जैसे 81 का वर्गमूल 9 है क्योंकि 9 * 9 = 81)।
वर्गमूल निकालने के लिए रेडिकल साइन (√) का उपयोग किया जाता है, जो घात 1/2 के बराबर होता है।
किसी संख्या का वर्गमूल निकालने का सबसे अच्छा तरीका प्राइम फैक्टराइजेशन (अभाज्य गुणनखंडन) मेथड है, जिसमें गुणनखंडों के जोड़े बनाए जाते हैं और प्रत्येक जोड़े से एक संख्या बाहर निकाली जाती है।

वर्गमूल निकालना कई गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है, खासकर जब हमें किसी संख्या को बनाने वाली मूल संख्या का पता लगाना हो।

17424 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम इसे प्राइम फैक्टराइज करते हैं: 2*2*2*2*3*11*11*11*11। जोड़े बनाते हैं (2*2), (2*2), (11*11), (11*11)। बाहर निकालने पर 2 * 2 * 11 * 11 = 132 मिलता है।

किसी संख्या का घन (cube) निकालने के लिए, उस संख्या को उसी से तीन बार गुणा किया जाता है (जैसे 4 का घन 4 * 4 * 4 = 64)।
पूर्ण घन (perfect cube) वह संख्या होती है जो किसी अन्य पूर्णांक का घन होती है (जैसे 8, 27, 64)।
किसी संख्या को पूर्ण घन के रूप में पहचानने के लिए, उसके गुणनखंडों को समान संख्याओं के तिगड़ी (triplets) में लिखा जा सकता है (जैसे 729 = 9 * 9 * 9)।

घन और पूर्ण घन की समझ हमें त्रि-आयामी आकृतियों (जैसे क्यूब) के आयतन की गणना करने और संख्या पैटर्न को गहराई से समझने में मदद करती है।

8 को 2 * 2 * 2 के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए 8 एक पूर्ण घन है। 729 को 9 * 9 * 9 के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह 9 का पूर्ण घन है।

सम संख्याओं का घन सम होता है, और विषम संख्याओं का घन विषम होता है।
धनात्मक संख्याओं का घन धनात्मक होता है, और ऋणात्मक संख्याओं का घन ऋणात्मक होता है।
घनमूल (cube root) निकालने के लिए रेडिकल साइन के साथ ऊपर 3 लिखा होता है (∛), जो घात 1/3 के बराबर होता है।
घनमूल निकालने के लिए प्राइम फैक्टराइजेशन का उपयोग किया जाता है, जिसमें गुणनखंडों की तिगड़ी (triplets) बनाई जाती है और प्रत्येक तिगड़ी से एक संख्या बाहर निकाली जाती है।

घन और घनमूल की प्रॉपर्टीज और निकालने की विधियाँ हमें विभिन्न प्रकार की गणितीय समस्याओं को हल करने में सक्षम बनाती हैं, खासकर जब आयतन या घातांक से संबंधित गणनाएं करनी हों।

1728 का घनमूल निकालने के लिए, हम इसे प्राइम फैक्टराइज करते हैं: 2*2*2 * 2*2*2 * 3*3*3। तिगड़ी बनाते हैं (2*2*2), (2*2*2), (3*3*3)। बाहर निकालने पर 2 * 2 * 3 = 12 मिलता है।

Key takeaways

1वर्ग (square) किसी संख्या को उसी से गुणा करने पर मिलता है, जबकि घन (cube) किसी संख्या को उसी से तीन बार गुणा करने पर मिलता है।
2पूर्ण वर्ग संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है, जबकि पूर्ण घन संख्याओं के गुणनखंडों की तिगड़ी (triplet) बनती है।
3पूर्ण वर्ग संख्याएं कभी भी 2, 3, 7, या 8 पर समाप्त नहीं होती हैं, और उनके अंत में शून्य की संख्या हमेशा सम होती है।
4वर्गमूल और घनमूल निकालने के लिए प्राइम फैक्टराइजेशन सबसे प्रभावी तरीका है, जिसमें क्रमशः गुणनखंडों के जोड़े या तिगड़ी बनाई जाती है।
5लगातार विषम संख्याओं का योग उस संख्या के वर्ग के बराबर होता है, और लगातार दो त्रिकोणीय संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग होता है।

Key terms

Square (वर्ग)Perfect Square (पूर्ण वर्ग)Square Root (वर्गमूल)Cube (घन)Perfect Cube (पूर्ण घन)Cube Root (घनमूल)Factors (गुणनखंड)Odd Number (विषम संख्या)Even Number (सम संख्या)Prime Factorization (अभाज्य गुणनखंडन)Unit Digit (इकाई का अंक)

Test your understanding

1किसी संख्या के वर्ग की अंतिम इकाई का अंक कैसे ज्ञात किया जाता है?
2पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन संख्याओं को पहचानने के लिए उनके गुणनखंडों में क्या अंतर होता है?
3दो लगातार पूर्णांकों के वर्गों के बीच कितनी नॉन-परफेक्ट स्क्वायर संख्याएं होती हैं और उन्हें कैसे ज्ञात किया जाता है?
4प्राइम फैक्टराइजेशन मेथड का उपयोग करके 17424 का वर्गमूल कैसे ज्ञात करेंगे?
5किसी संख्या का घनमूल निकालने के लिए प्राइम फैक्टराइजेशन मेथड में क्या प्रक्रिया अपनाई जाती है?