class 12th exercise 1.1 one shot||Prashnawali 1.1 class 12th full solutions||by pankaj sir#part6

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3 chapters5 takeaways9 key terms5 questions

Overview

यह वीडियो कक्षा 12 के गणित के प्रश्नावली 1.1 के प्रश्न 12 और 13 का विस्तृत समाधान प्रदान करता है। इसमें मुख्य रूप से संबंध और फलन के तुल्यता संबंध की अवधारणाओं पर ध्यान केंद्रित किया गया है। वीडियो में स्वतुल्य, सममित और संक्रामक संबंधों को परिभाषित किया गया है और यह समझाया गया है कि कैसे ये गुण मिलकर एक तुल्यता संबंध बनाते हैं। प्रश्न 12 में, त्रिभुजों के समरूपता के आधार पर तुल्यता संबंध की जांच की जाती है और फिर विशिष्ट त्रिभुजों के बीच संबंध निर्धारित किया जाता है। प्रश्न 13 में, बहुभुजों के समुच्चय में भुजाओं की संख्या के आधार पर तुल्यता संबंध को सिद्ध किया जाता है और फिर एक विशिष्ट त्रिभुज से संबंधित बहुभुजों के समुच्चय को ज्ञात किया जाता है।

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Chapters

स्वतुल्य संबंध: प्रत्येक अवयव का स्वयं से संबंध होना चाहिए (जैसे, aRa)।
सममित संबंध: यदि a का b से संबंध है, तो b का भी a से संबंध होना चाहिए (यदि aRb, तो bRa)।
संक्रामक संबंध: यदि a का b से और b का c से संबंध है, तो a का c से भी संबंध होना चाहिए (यदि aRb और bRc, तो aRc)।
तुल्यता संबंध: एक संबंध जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामक तीनों हो।

ये तीन मुख्य गुण (स्वतुल्य, सममित, संक्रामक) यह निर्धारित करने के लिए मौलिक हैं कि क्या कोई संबंध तुल्यता संबंध है, जो गणित में वर्गीकरण और विभाजन के लिए एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

स्वतुल्य के लिए: 2 का 2 से संबंध। सममित के लिए: यदि 2 का 4 से संबंध है, तो 4 का 2 से भी संबंध होना चाहिए। संक्रामक के लिए: यदि 2 का 3 से और 3 का 4 से संबंध है, तो 2 का 4 से भी संबंध होना चाहिए।

समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, संबंध R को 't1, t2 के समरूप है' द्वारा परिभाषित किया गया है।
यह सिद्ध किया गया कि यह संबंध स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है।
यह सिद्ध किया गया कि यह संबंध सममित है क्योंकि यदि t1, t2 के समरूप है, तो t2 भी t1 के समरूप होगा।
यह सिद्ध किया गया कि यह संबंध संक्रामक है क्योंकि यदि t1, t2 के समरूप है और t2, t3 के समरूप है, तो t1, t3 के समरूप होगा।
निष्कर्ष निकाला गया कि समरूपता का संबंध एक तुल्यता संबंध है।

यह प्रश्न दर्शाता है कि ज्यामिति में समरूपता की अवधारणा गणितीय रूप से एक तुल्यता संबंध के रूप में कैसे काम करती है, जिससे त्रिभुजों को उनकी समरूपता के आधार पर समूहीकृत किया जा सकता है।

भुजाओं 3-4-5 वाले त्रिभुज (t1), 5-12-13 वाले त्रिभुज (t2), और 6-8-10 वाले त्रिभुज (t3) पर विचार किया गया। यह पाया गया कि t1 और t3 की भुजाओं का अनुपात (3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2) बराबर है, इसलिए t1 और t3 समरूप हैं और परस्पर संबंधित हैं, जबकि t1 और t2 समरूप नहीं हैं।

समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, संबंध R को 'p1 और p2 की भुजाओं की संख्या समान है' द्वारा परिभाषित किया गया है।
यह सिद्ध किया गया कि यह संबंध स्वतुल्य है क्योंकि किसी भी बहुभुज की भुजाओं की संख्या स्वयं के बराबर होती है।
यह सिद्ध किया गया कि यह संबंध सममित है क्योंकि यदि p1 की भुजाओं की संख्या p2 के बराबर है, तो p2 की भुजाओं की संख्या भी p1 के बराबर होगी।
यह सिद्ध किया गया कि यह संबंध संक्रामक है क्योंकि यदि p1 की भुजाओं की संख्या p2 के बराबर है और p2 की भुजाओं की संख्या p3 के बराबर है, तो p1 की भुजाओं की संख्या भी p3 के बराबर होगी।
निष्कर्ष निकाला गया कि भुजाओं की संख्या की समानता का संबंध एक तुल्यता संबंध है।

यह प्रश्न दिखाता है कि बहुभुजों को उनकी भुजाओं की संख्या के आधार पर वर्गीकृत करना एक तुल्यता संबंध बनाता है, जिससे समान भुजाओं वाले सभी बहुभुज एक ही समूह में आते हैं।

3, 4, और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज (जिसमें 3 भुजाएँ होती हैं) से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयव वे सभी बहुभुज होंगे जिनकी भुजाओं की संख्या 3 है, यानी सभी त्रिभुज।

Key takeaways

1तुल्यता संबंध (स्वतुल्य, सममित, संक्रामक) गणित में वस्तुओं को वर्गीकृत करने का एक शक्तिशाली तरीका है।
2समरूपता एक तुल्यता संबंध है, जिसका अर्थ है कि समान आकार और अनुपात वाले सभी त्रिभुज एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं।
3समान भुजाओं की संख्या वाले बहुभुज एक तुल्यता वर्ग बनाते हैं।
4किसी दिए गए अवयव से संबंधित तुल्यता वर्ग में वे सभी अवयव शामिल होते हैं जो उस अवयव के साथ तुल्यता संबंध साझा करते हैं।
5गणित में संबंधों की प्रकृति को समझने के लिए स्वतुल्य, सममित और संक्रामक गुणों का विश्लेषण महत्वपूर्ण है।

Key terms

स्वतुल्य संबंध (Reflexive Relation)सममित संबंध (Symmetric Relation)संक्रामक संबंध (Transitive Relation)तुल्यता संबंध (Equivalence Relation)समरूप त्रिभुज (Similar Triangles)बहुभुज (Polygon)समुच्चय (Set)अवयव (Element)संबंध (Relation)

Test your understanding

1तुल्यता संबंध के तीन आवश्यक गुण क्या हैं और प्रत्येक का क्या अर्थ है?
2दो त्रिभुजों के समरूप होने के लिए किन शर्तों को पूरा करना होता है?
3यदि किसी संबंध को तुल्यता संबंध सिद्ध करना है, तो आपको कौन से तीन मुख्य परीक्षण करने होंगे?
4भुजाओं की संख्या के आधार पर बहुभुजों को वर्गीकृत करने में तुल्यता संबंध की अवधारणा कैसे लागू होती है?
5प्रश्न 12 में, यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ 3, 4, 5 हैं, तो उससे संबंधित अन्य कौन से त्रिभुज हो सकते हैं (समरूपता के आधार पर)?