Overview, Sample Space & Types of Events | By GP Sir

Dr.Gajendra Purohit

7 chapters6 takeaways10 key terms5 questions

Overview

यह वीडियो प्रोबेबिलिटी (प्रायिकता) की बुनियादी बातों का परिचय देता है, जिसमें रैंडम एक्सपेरिमेंट (यादृच्छिक प्रयोग), सैंपल स्पेस (प्रतिदर्श समष्टि), और विभिन्न प्रकार की घटनाओं (इवेंट्स) जैसे सिंपल इवेंट, कंपाउंड इवेंट, म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट, एग्जॉस्ट इव इवेंट, और इंडिपेंडेंट इवेंट शामिल हैं। वीडियो में इन कॉन्सेप्ट्स को समझाने के लिए कॉइन टॉस, डाइस रोलिंग और कार्ड्स जैसे उदाहरणों का उपयोग किया गया है। यह प्रोबेबिलिटी की आगे की पढ़ाई के लिए एक मजबूत नींव बनाने पर केंद्रित है।

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Chapters

प्रोबेबिलिटी की अवधारणा तभी लागू होती है जब कोई प्रयोग या स्थिति 'रैंडम' (यादृच्छिक) हो, जिसका अर्थ है कि परिणाम की पहले से भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।
अगर परिणाम ज्ञात हो (जैसे पेपर लीक होने पर), तो प्रोबेबिलिटी का कॉन्सेप्ट लागू नहीं होता।
रैंडम एक्सपेरिमेंट वे प्रयोग होते हैं जिनके परिणाम अनिश्चित होते हैं, जैसे डाइस फेंकना, कॉइन उछालना, या लॉटरी निकालना।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि प्रोबेबिलिटी किन स्थितियों में लागू होती है ताकि हम सही कॉन्सेप्ट्स का उपयोग कर सकें। रैंडम एक्सपेरिमेंट प्रोबेबिलिटी की नींव हैं।

लॉटरी में अगर आपको पता है कि किस पर्ची पर इनाम है और आप वही निकालते हैं, तो यह रैंडम नहीं है। लेकिन अगर आप बिना देखे निकालते हैं, तो यह एक रैंडम एक्सपेरिमेंट है।

सैंपल स्पेस (S) किसी रैंडम एक्सपेरिमेंट के सभी संभावित परिणामों का सेट होता है।
एक कॉइन को एक बार उछालने पर सैंपल स्पेस {हेड, टेल} होता है।
एक कॉइन को दो बार उछालने पर सैंपल स्पेस {HH, HT, TH, TT} होता है (2^2 = 4 परिणाम)।
एक डाइस को एक बार फेंकने पर सैंपल स्पेस {1, 2, 3, 4, 5, 6} होता है (6^1 = 6 परिणाम)।
दो डाइस को एक साथ फेंकने पर सैंपल स्पेस में 6^2 = 36 परिणाम होते हैं, जिन्हें पेयर (जैसे (1,1), (1,2)...(6,6)) के रूप में दर्शाया जाता है।

किसी भी इवेंट की प्रोबेबिलिटी निकालने के लिए सैंपल स्पेस का पता होना आवश्यक है, क्योंकि प्रोबेबिलिटी की गणना इसी सेट के आधार पर की जाती है।

दो डाइस फेंकने पर सैंपल स्पेस को मैट्रिक्स फॉर्म में दर्शाया गया है, जिसमें हर सेल एक संभावित परिणाम (जैसे (1,1) या (3,5)) को दिखाता है।

एक स्टैंडर्ड डेक में कुल 52 कार्ड होते हैं।
इनमें से 26 रेड (लाल) और 26 ब्लैक (काले) होते हैं।
ब्लैक कार्ड्स में 13 स्पेड (हुकुम) और 13 क्लब (चिड़ी) होते हैं।
रेड कार्ड्स में 13 हार्ट (पान) और 13 डायमंड (ईंट) होते हैं।
हर सूट में 1 से 10 तक नंबर वाले कार्ड, एक जैक (J), एक क्वीन (Q), और एक किंग (K) होता है। J, Q, K को फेस कार्ड भी कहते हैं (कुल 12 फेस कार्ड)। इक्का (Ace) को ओनर कार्ड माना जाता है।

कार्ड्स से संबंधित प्रोबेबिलिटी के सवालों को हल करने के लिए डेक की संरचना और कार्ड्स के प्रकारों को समझना महत्वपूर्ण है।

स्पेड सूट में 1 (इक्का), 2 से 10 तक नंबर वाले कार्ड, J, Q, K होते हैं। इसी तरह अन्य सूट्स में भी होते हैं।

इवेंट किसी रैंडम एक्सपेरिमेंट का एक संभावित परिणाम या परिणामों का समूह होता है।
सिंपल इवेंट: जिसमें केवल एक सैंपल पॉइंट होता है (जैसे कॉइन को दो बार उछालने पर 'HH' आना)।
कंपाउंड इवेंट: जिसमें एक से अधिक सैंपल पॉइंट होते हैं (जैसे कॉइन को दो बार उछालने पर 'ठीक एक हेड आना', जो HT और TH दोनों को कवर करता है)।
अगर कोई इवेंट सिंपल नहीं है, तो वह कंपाउंड इवेंट होता है।

इवेंट्स को वर्गीकृत करने से हमें उनकी प्रकृति को समझने और प्रोबेबिलिटी की गणना करने में मदद मिलती है।

डाइस फेंकने पर 'सम संख्या आना' एक कंपाउंड इवेंट है क्योंकि इसके परिणाम {2, 4, 6} हैं।

म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स: वे इवेंट्स जो एक साथ नहीं हो सकते। यदि एक होता है, तो दूसरा नहीं हो सकता (उनका इंटरसेक्शन खाली सेट होता है)।
एग्जॉस्ट इव इवेंट्स: इवेंट्स का एक सेट जिनका यूनियन पूरे सैंपल स्पेस के बराबर होता है।
यदि दो इवेंट्स म्यूचुअल एक्सक्लूसिव भी हों और एग्जॉस्ट इव भी हों, तो वे एक-दूसरे के पूरक (complement) होते हैं और मिलकर पूरा सैंपल स्पेस बनाते हैं बिना किसी ओवरलैप के।

यह समझना कि इवेंट्स एक-दूसरे को कैसे प्रभावित करते हैं (या नहीं करते) प्रोबेबिलिटी की गणना के लिए महत्वपूर्ण है, खासकर जब कई इवेंट्स शामिल हों।

एक डाइस फेंकने पर 'सम संख्या आना' (A) और 'विषम संख्या आना' (B) म्यूचुअल एक्सक्लूसिव (क्योंकि कोई भी नंबर सम और विषम एक साथ नहीं हो सकता) और एग्जॉस्ट इव (क्योंकि हर नंबर या तो सम होता है या विषम) इवेंट्स हैं।

कॉम्प्लीमेंट्री इवेंट: किसी इवेंट 'A' का कॉम्प्लीमेंट्री इवेंट (A') वह इवेंट है जिसमें 'A' के अलावा सैंपल स्पेस के सभी परिणाम शामिल होते हैं। (A union A' = S, A intersection A' = empty set)।
इंडिपेंडेंट इवेंट्स: एक इवेंट का होना दूसरे इवेंट के होने की प्रोबेबिलिटी को प्रभावित नहीं करता है।
डिपेंडेंट इवेंट्स: एक इवेंट का होना दूसरे इवेंट की प्रोबेबिलिटी को प्रभावित करता है (जैसे बिना रिप्लेसमेंट के कार्ड निकालना)।

इंडिपेंडेंट इवेंट्स की प्रोबेबिलिटी की गणना सरल होती है (P(A and B) = P(A) * P(B)), जबकि डिपेंडेंट इवेंट्स के लिए कंडीशनल प्रोबेबिलिटी की आवश्यकता होती है।

एक कॉइन को दो बार उछालने पर पहली बार हेड आना और दूसरी बार हेड आना इंडिपेंडेंट इवेंट्स हैं, क्योंकि पहली बार के परिणाम से दूसरी बार के परिणाम पर कोई फर्क नहीं पड़ता।

दो डाइस फेंकने पर, 'सम 5 आना' (इवेंट A) और 'कम से कम एक डाइस पर 3 आना' (इवेंट B) म्यूचुअल एक्सक्लूसिव नहीं हैं क्योंकि (2,3) और (3,2) दोनों में कॉमन हैं।
ऊपर दिए गए इवेंट्स (A और B) एग्जॉस्ट इव भी नहीं हैं क्योंकि उनका यूनियन पूरा सैंपल स्पेस नहीं बनाता।
एक कॉइन टॉस और उसके बाद बॉल निकालने या डाइस फेंकने जैसे मिश्रित प्रयोगों के सैंपल स्पेस को बनाने के लिए सभी संभावित ब्रांचिंग पाथ्स को कंसीडर करना होता है।

यह सेक्शन सिखाता है कि कैसे विभिन्न प्रकार के इवेंट्स (म्यूचुअल एक्सक्लूसिव, एग्जॉस्ट इव) को विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके पहचाना जाए और मिश्रित प्रयोगों के सैंपल स्पेस का निर्माण कैसे किया जाए।

तीन बॉयज़ और दो गर्ल्स के ग्रुप से दो लोगों को चुनने पर सैंपल स्पेस में 'दोनों बॉयज़', 'एक बॉय एक गर्ल', और 'दोनों गर्ल्स' जैसे परिणाम शामिल हो सकते हैं।

Key takeaways

1प्रोबेबिलिटी की शुरुआत रैंडम एक्सपेरिमेंट को समझने से होती है, जहाँ परिणाम अनिश्चित होते हैं।
2सैंपल स्पेस किसी भी रैंडम एक्सपेरिमेंट के सभी संभावित आउटकम्स का कलेक्शन है, और यह प्रोबेबिलिटी गणना का आधार है।
3इवेंट्स किसी एक्सपेरिमेंट के परिणाम या परिणामों का सबसेट होते हैं, और उन्हें सिंपल या कंपाउंड में वर्गीकृत किया जा सकता है।
4म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स एक साथ नहीं हो सकते, जबकि एग्जॉस्ट इव इवेंट्स मिलकर पूरा सैंपल स्पेस बनाते हैं।
5इंडिपेंडेंट इवेंट्स में एक का परिणाम दूसरे को प्रभावित नहीं करता, जिससे प्रोबेबिलिटी की गणना आसान हो जाती है।
6कार्ड्स, डाइस और कॉइन जैसे क्लासिक उदाहरण प्रोबेबिलिटी के कॉन्सेप्ट्स को समझने में मदद करते हैं।

Key terms

Random ExperimentSample SpaceEventSimple EventCompound EventMutually Exclusive EventsExhaustive EventsComplementary EventIndependent EventsFace Card

Test your understanding

1रैंडम एक्सपेरिमेंट और डिटरमिनिस्टिक एक्सपेरिमेंट में क्या अंतर है?
2एक डाइस को दो बार फेंकने पर सैंपल स्पेस कैसे बनाया जाता है और उसमें कितने परिणाम होते हैं?
3म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स और इंडिपेंडेंट इवेंट्स के बीच मुख्य अंतर क्या है?
4यदि एक कॉइन को तीन बार उछाला जाए, तो 'कम से कम दो हेड आने' वाले इवेंट का सैंपल स्पेस में कौन से परिणाम होंगे?
552 पत्तों के डेक में कितने फेस कार्ड होते हैं और वे कैसे वितरित होते हैं?