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Day 24 || SSC CGL CHSL 2021 || Number System || 60 दिन 60 मैराथन || By Aditya Ranjan Sir ||
RANKERS GURUKUL
Overview
यह वीडियो गणित के संख्या प्रणाली (Number System) पर केंद्रित है, जो विशेष रूप से एसएससी सीजीएल और सीएचएसएल 2021 परीक्षाओं के लिए 60 दिनों की मैराथन श्रृंखला का हिस्सा है। आदित्य रंजन सर द्वारा प्रस्तुत, यह सत्र विभिन्न प्रकार के प्रश्नों को कवर करता है, जिसमें रिमाइंडर थ्योरम, डिविजिबिलिटी रूल्स (11, 7, 13, 37, 3, 9 से), परफेक्ट स्क्वायर, यूनिट डिजिट और बीजगणितीय सर्वसमिकाएं शामिल हैं। इसका उद्देश्य छात्रों को परीक्षा में 50/50 स्कोर करने के लिए आवश्यक अवधारणाओं और स्मार्ट एप्रोच सिखाना है। वीडियो में प्रिंटेबल पीडीएफ भी उपलब्ध कराए गए हैं।
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Chapters
- यह 60 दिनों की मैराथन श्रृंखला का 24वां दिन है, जो एसएससी सीजीएल/सीएचएसएल 2021 के लिए संख्या प्रणाली पर केंद्रित है।
- लक्ष्य छात्रों को परीक्षा में 50/50 स्कोर करने में मदद करने के लिए सर्वश्रेष्ठ अवधारणाएं और कंटेंट प्रदान करना है।
- सभी प्रश्न पिछले वर्षों के प्रश्नपत्रों से लिए गए हैं और नवीनतम पैटर्न पर आधारित हैं।
- प्रश्नों को चार भागों में बांटा गया है, और प्रत्येक भाग में महत्वपूर्ण श्रेणियों को कवर किया जाएगा।
- प्रश्नों के लिए प्रिंटेबल पीडीएफ टेलीग्राम पर उपलब्ध हैं।
यह खंड वीडियो के उद्देश्य और संरचना को स्पष्ट करता है, जिससे छात्रों को पता चलता है कि वे क्या सीखने की उम्मीद कर सकते हैं और यह परीक्षा के लिए क्यों महत्वपूर्ण है।
संख्या प्रणाली को चार भागों में विभाजित किया गया है, और यह पहला भाग है।
- जब किसी संख्या N को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 3 आता है, तो 6N - 1 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना।
- मुख्य अवधारणा: संख्या पर किया गया ऑपरेशन (गुणा, जोड़ना, घटाना) शेषफल पर भी लागू होता है।
- उदाहरण: यदि N को 8 से भाग देने पर शेष 3 है, तो 6N को 8 से भाग देने पर शेष 6 * 3 = 18 होगा, और 18 को 8 से भाग देने पर शेष 2 आएगा। फिर 6N - 1 को 8 से भाग देने पर शेष 2 - 1 = 1 आएगा।
- दूसरा उदाहरण: यदि N को 7 से भाग देने पर शेष 3 है, तो 5N को 7 से भाग देने पर शेष 5 * 3 = 15 होगा, और 15 को 7 से भाग देने पर शेष 1 आएगा।
यह खंड शेषफल प्रमेय के एक महत्वपूर्ण नियम को समझाता है, जिससे छात्र जटिल गणनाओं को सरल तरीके से हल कर सकते हैं।
जब N को 8 से भाग देने पर शेष 3 आता है, तो 6N - 1 को 8 से भाग देने पर शेष 1 आता है।
- 11 से विभाज्यता का नियम: सम स्थानों के अंकों का योग और विषम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।
- प्रश्न 1: एक संख्या में अज्ञात अंक A और B हैं। यदि संख्या 11 से विभाज्य है और A, B से बड़ा है, तो A और B के सबसे बड़े संभव मान ज्ञात करना।
- यहां अंतर 0 संभव नहीं है क्योंकि इससे A-B का ऋणात्मक मान आता है, इसलिए अंतर 11 लेना होगा।
- प्रश्न 2: एक संख्या में अज्ञात अंक A और B हैं। यदि संख्या 11 से विभाज्य है, तो A के सबसे छोटे संभव मान ज्ञात करना।
- प्रश्न 3: एक संख्या में अज्ञात अंक A और B हैं। सभी संभव मानों A+B का योग ज्ञात करना।
यह खंड 11 से विभाज्यता के नियम को विस्तार से समझाता है और विभिन्न परिदृश्यों में अज्ञात अंकों को खोजने के लिए इसका उपयोग कैसे करें, यह सिखाता है।
संख्या 304A6B यदि 11 से विभाज्य है, तो A के सबसे छोटे संभव मान के लिए, A+B का मान 5 या 16 हो सकता है। यदि A को सबसे छोटा रखना है, तो B=0 रखने पर A=5 आता है।
- प्रश्न: 1936 पौधे इस प्रकार लगाए गए हैं कि पंक्तियों और कतारों की संख्या बराबर हो। पंक्तियों की संख्या ज्ञात करें।
- यह एक परफेक्ट स्क्वायर का प्रश्न है, जहाँ पंक्तियों की संख्या = कतारों की संख्या = √1936।
- 50 से बड़ी संख्याओं का वर्ग निकालने की ट्रिक: संख्या 50 से जितनी अधिक है, उसे 25 में जोड़ें और फिर उस अंतर का वर्ग करें (जैसे 56 का वर्ग: 50 से 6 अधिक, 25+6=31, 6 का वर्ग 36 -> 3136)।
- 50 से छोटी संख्याओं का वर्ग निकालने की ट्रिक: संख्या 50 से जितनी कम है, उसे 25 में से घटाएं और फिर उस अंतर का वर्ग करें (जैसे 44 का वर्ग: 50 से 6 कम, 25-6=19, 6 का वर्ग 36 -> 1936)।
- √1936 = 44।
यह खंड परफेक्ट स्क्वायर की अवधारणा को स्पष्ट करता है और वर्गमूल निकालने की त्वरित ट्रिक्स सिखाता है, जो परीक्षा में समय बचाने में मदद करती हैं।
1936 का वर्गमूल 44 है, जिसका अर्थ है कि 44 पंक्तियाँ और 44 कतारें होंगी।
- किसी भी संख्या का यूनिट डिजिट ज्ञात करने के लिए केवल उसके अंतिम अंक और घात (power) पर ध्यान केंद्रित करना होता है।
- घात (Power) के लिए साइक्लिसिटी (चक्रता) का उपयोग होता है, जो आमतौर पर 4 होती है। घात को 4 से विभाजित करके शेषफल ज्ञात किया जाता है।
- उदाहरण: 1234569^69489 का यूनिट डिजिट ज्ञात करना। केवल 9^69489 पर ध्यान दें। 69489 को 4 से विभाजित करने पर शेष 1 आता है। इसलिए, 9^1 का यूनिट डिजिट 9 होगा।
- उदाहरण: 123^237 - 7^262 का यूनिट डिजिट ज्ञात करना। (3^237) - (7^262)। 237 को 4 से भाग देने पर शेष 1 (3^1=3)। 262 को 4 से भाग देने पर शेष 2 (7^2=49, यूनिट डिजिट 9)।
- अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए उधार लेना (borrowing): यदि घटाने पर यूनिट डिजिट ऋणात्मक आता है, तो 10 जोड़कर हल किया जाता है (जैसे 3 - 9 = -6, जो 13 - 9 = 4 बन जाता है)।
यह खंड यूनिट डिजिट ज्ञात करने की एक महत्वपूर्ण तकनीक सिखाता है, जो अक्सर परीक्षाओं में पूछे जाने वाले प्रश्नों को हल करने में सहायक होती है।
123^237 - 7^262 का यूनिट डिजिट 8 है।
- 3 से विभाज्यता: अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।
- 9 से विभाज्यता: अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।
- 7, 11, 13 से विभाज्यता: संख्या को दाईं ओर से तीन-तीन अंकों के समूह में बांटकर एकांतर क्रम में घटाना। परिणाम 0 या 7/11/13 से विभाज्य होना चाहिए।
- 37 से विभाज्यता: संख्या को तीन-तीन अंकों के समूह में बांटकर जोड़ना। यदि योग 37 से विभाज्य है, तो संख्या भी विभाज्य होगी।
- 111 का नियम: 111 = 3 * 37। इसलिए, जो संख्या 111 से विभाज्य है, वह 3 और 37 से भी विभाज्य होगी।
- 7, 11, 13 का संयुक्त नियम: यदि कोई संख्या 7, 11, और 13 तीनों से विभाज्य है, तो वह 1001 (7*11*13) से विभाज्य होगी। ऐसी संख्याएँ ABCABC के रूप में होती हैं।
- 37 और 13 का संयुक्त नियम: संख्याएँ ABABAB के रूप में होती हैं।
यह खंड विभिन्न विभाज्यता नियमों को एक साथ प्रस्तुत करता है, जिससे छात्र विभिन्न संख्याओं के लिए विभाज्यता की जांच करना सीख सकें।
संख्या 30744, 5 को छोड़कर सभी संख्याओं (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9) से विभाज्य है।
- प्रश्न: यदि A, B, C तीन अलग-अलग अंक हैं, तो ABC + CAB + BCA का योग इनमें से किससे विभाज्य नहीं होगा।
- सरलीकरण: यदि A=B=C=1 माना जाए, तो संख्या 111 + 111 + 111 = 333 होगी।
- 333, 3 से विभाज्य है (333/3 = 111)।
- 333, 37 से विभाज्य है (333/37 = 9)।
- 333, 111 से विभाज्य है (333/111 = 3)।
- 333, 3 से विभाज्य है, लेकिन 2 से नहीं।
- प्रश्न: (a+b)^2 का विस्तारित रूप क्या है।
- प्रश्न: 4x^2 + 9y^2 - 12xy का गुणनखंड क्या है। यह (2x - 3y)^2 का विस्तार है।
यह खंड बीजगणितीय सर्वसमिकाओं के अनुप्रयोग को दर्शाता है, विशेष रूप से विभाज्यता के प्रश्नों में, और यह सिखाता है कि कैसे सरल मान रखकर जटिल समस्याओं को हल किया जा सकता है।
यदि A=B=C=1, तो ABC+CAB+BCA = 111+111+111 = 333, जो 2 से विभाज्य नहीं है।
- प्रश्न: जब एक धनात्मक पूर्णांक N को D से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 15 आता है। जब 10N को D से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 6 आता है। D का सबसे छोटा संभव मान ज्ञात करें।
- मुख्य सिद्धांत: यदि N को D से विभाजित करने पर शेष R आता है, तो kN को D से विभाजित करने पर शेषफल kR (mod D) होगा।
- यहाँ, N = qD + 15।
- 10N = 10(qD + 15) = 10qD + 150।
- जब 10N को D से विभाजित किया जाता है, तो शेष 6 आता है। इसका मतलब है कि 150 को D से विभाजित करने पर शेषफल 6 आना चाहिए।
- इसलिए, D, 150 - 6 = 144 का एक भाजक (divisor) होना चाहिए।
- साथ ही, शेषफल (15) भाजक (D) से हमेशा छोटा होता है, इसलिए D > 15।
- 144 के भाजक जो 15 से बड़े हैं: 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144।
- इनमें से सबसे छोटा मान 16 है।
यह खंड शेषफल प्रमेय के एक जटिल अनुप्रयोग को प्रस्तुत करता है, जहाँ अज्ञात भाजक (D) का मान ज्ञात करना होता है, जो छात्रों की विश्लेषणात्मक क्षमता को बढ़ाता है।
D का सबसे छोटा संभव मान 16 है।
Key takeaways
- संख्या प्रणाली के प्रश्नों को हल करने के लिए शेषफल प्रमेय और विभाज्यता नियमों की गहरी समझ आवश्यक है।
- संख्या पर किए गए ऑपरेशन (गुणा, जोड़, घटाव) शेषफल पर भी उसी तरह लागू होते हैं।
- 11 से विभाज्यता के लिए सम और विषम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।
- वर्गमूल निकालने की त्वरित ट्रिक्स (जैसे 50 से बड़ी/छोटी संख्याओं के लिए) परीक्षा में समय बचा सकती हैं।
- यूनिट डिजिट ज्ञात करने के लिए केवल अंतिम अंक और घात की साइक्लिसिटी (चक्रता) पर ध्यान केंद्रित करें।
- 7, 11, 13, 37 जैसी संख्याओं के लिए विभाज्यता के विशेष पैटर्न को याद रखना फायदेमंद होता है।
- बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके विभाज्यता के प्रश्नों को सरल बनाया जा सकता है।
- जब भाजक (D) अज्ञात हो और शेषफल दिया गया हो, तो D के संभावित मानों को ज्ञात करने के लिए शेषफल और भाजक के बीच संबंध का उपयोग करें।
Key terms
Number SystemRemainder TheoremDivisibility RulesPerfect SquareSquare RootUnit DigitCyclicityAlgebraic IdentitiesFactorDivisor
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- शेषफल प्रमेय का उपयोग करके, यदि N को 8 से विभाजित करने पर शेष 3 आता है, तो 6N - 1 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?
- 11 से विभाज्यता के नियम का उपयोग करके, संख्या 304A6B में A का सबसे छोटा संभव मान क्या होगा यदि संख्या 11 से विभाज्य है?
- 1936 का वर्गमूल क्या है और यह परफेक्ट स्क्वायर से संबंधित प्रश्न को कैसे हल करता है?
- संख्या 123^237 - 7^262 का यूनिट डिजिट कैसे ज्ञात किया जाएगा?
- यदि कोई संख्या 7, 11 और 13 से विभाज्य है, तो उसके अंकों का पैटर्न क्या होता है और यह विभाज्यता को कैसे प्रभावित करता है?
- जब किसी धनात्मक पूर्णांक N को D से विभाजित करने पर शेष 15 आता है और 10N को D से विभाजित करने पर शेष 6 आता है, तो D का सबसे छोटा संभव मान कैसे ज्ञात किया जा सकता है?