Lec-1: Fundamental Principle Of Counting (Basic Permutation) | Probability and Statistics

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Overview

यह वीडियो प्रोबेबिलिटी और स्टैटिस्टिक्स में काउंटिंग के फंडामेंटल प्रिंसिपल को समझाता है। इसमें बताया गया है कि कैसे किसी इवेंट के होने के कुल तरीकों की गणना करने के लिए गुणा और जोड़ का उपयोग किया जाता है। वीडियो में दिल्ली से बॉम्बे जाने के उदाहरण से शुरुआत करके, विभिन्न परिदृश्यों में इस सिद्धांत को लागू करने के तरीके बताए गए हैं, जैसे कि यात्रा के विभिन्न साधनों का उपयोग करना या संख्याओं का निर्माण करना। यह सिद्धांत परम्यूटेशन और कॉम्बिनेशन जैसे जटिल विषयों की नींव रखता है।

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Chapters

फंडामेंटल काउंटिंग प्रिंसिपल बताता है कि यदि कोई इवेंट A, M तरीकों से हो सकता है और कोई दूसरा इवेंट B, N तरीकों से हो सकता है, तो दोनों इवेंट एक साथ M * N तरीकों से हो सकते हैं।
यह सिद्धांत तब लागू होता है जब एक इवेंट दूसरे पर निर्भर नहीं करता (independent events)।
यह सिद्धांत जटिल गणनाओं को सरल बनाने के लिए उपयोग किया जाता है, खासकर जब बड़ी संख्या में तरीके शामिल हों।

यह सिद्धांत हमें किसी कार्य को करने के कुल संभावित तरीकों की व्यवस्थित रूप से गणना करने में मदद करता है, जो आगे चलकर संभावनाओं की गणना के लिए महत्वपूर्ण है।

दिल्ली से बॉम्बे जाने के लिए 3 रास्ते (ट्रेन, फ्लाइट, बस) और बॉम्बे में एयरपोर्ट/स्टेशन से घर जाने के 2 रास्ते (ऑटो, कैब) हैं, तो कुल 3 * 2 = 6 तरीके हैं जर्नी पूरी करने के।

जब हम एक ही प्रकार के कई चरणों या विकल्पों को मिलाकर एक पूरा केस बनाते हैं, तो गुणा का उपयोग किया जाता है (जैसे, दिल्ली से बॉम्बे जाने के 3 रास्ते और फिर घर जाने के 2 रास्ते)।
जब हमारे पास अलग-अलग, परस्पर अनन्य (mutually exclusive) केस या विकल्प होते हैं, और हम उनमें से किसी एक को चुन सकते हैं, तो जोड़ का उपयोग किया जाता है (जैसे, ट्रेन से जाना है या फ्लाइट से जाना है)।
यह अंतर परम्यूटेशन और कॉम्बिनेशन के सवालों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

गुणा और जोड़ के बीच सही अंतर को समझना यह सुनिश्चित करता है कि हम किसी समस्या के लिए सही गणना विधि का चयन करें, जिससे सटीक परिणाम प्राप्त हों।

यदि ट्रेन से जाने के 2 तरीके हैं, एयर से जाने के 3 तरीके हैं, और बस से जाने के 4 तरीके हैं, और आप इनमें से कोई एक चुन सकते हैं, तो कुल तरीके 2 + 3 + 4 = 9 होंगे।

दिल्ली से गोवा जाने और वापस आने के तरीकों की गणना: यदि 4 रास्ते हैं और वापसी के लिए कोई भी रास्ता इस्तेमाल किया जा सकता है, तो कुल तरीके 4 * 4 = 16 हैं।
यदि वापसी के लिए उसी रास्ते का उपयोग नहीं करना है, तो जाने के 4 तरीके और आने के 3 तरीके होंगे, जिससे कुल 4 * 3 = 12 तरीके होंगे।
4000 से बड़ी 4-डिजिट की संख्याएँ बनाना: यदि अंकों की पुनरावृत्ति (repetition) की अनुमति है, तो पहले अंक के लिए सीमित विकल्प (जैसे 4, 5, 6, 7, 8, 9) होते हैं, और बाकी अंकों के लिए सभी उपलब्ध अंक (0 सहित) उपयोग किए जा सकते हैं।
यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, तो प्रत्येक चरण में उपलब्ध अंकों की संख्या कम होती जाती है।

ये उदाहरण दिखाते हैं कि कैसे फंडामेंटल काउंटिंग प्रिंसिपल को वास्तविक दुनिया की समस्याओं, जैसे यात्रा योजना और संख्या निर्माण, में लागू किया जा सकता है।

अंकों 0, 1, 2, 3, 4 का उपयोग करके 4000 से बड़ी 4-डिजिट की संख्याएँ बनाना (पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं): पहले स्थान पर केवल 4 आ सकता है (1 तरीका), दूसरे स्थान पर बचे हुए 4 अंकों में से कोई भी (4 तरीके), तीसरे पर बचे हुए 3 (3 तरीके), और चौथे पर बचे हुए 2 (2 तरीके)। कुल 1 * 4 * 3 * 2 = 24 संख्याएँ।

एक विषम संख्या बनाने के लिए, इकाई स्थान (units place) पर एक विषम अंक (जैसे 5 या 7) होना चाहिए।
यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, तो हमें प्रत्येक स्थान के लिए उपलब्ध अंकों की संख्या को ध्यान में रखना होगा, खासकर जब 0 शामिल हो।
एक से अधिक अंकों की संख्या (जैसे 1-डिजिट, 2-डिजिट, 3-डिजिट, 4-डिजिट) के लिए अलग-अलग केस बनाने होंगे और फिर कुल संख्या प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ना होगा।

यह केस स्टडी दिखाता है कि कैसे काउंटिंग प्रिंसिपल को विशिष्ट बाधाओं (जैसे विषम संख्या, पुनरावृत्ति नहीं) वाली समस्याओं पर लागू किया जा सकता है, जिसमें कई उप-केस शामिल हो सकते हैं।

अंकों 0, 2, 5, 7 का उपयोग करके पुनरावृत्ति के बिना 1000 से छोटी विषम संख्याएँ बनाना: 1-डिजिट (5, 7 - 2 संख्याएँ), 2-डिजिट (इकाई स्थान पर 5 या 7, दहाई स्थान पर शेष 3 में से कोई भी - 2*3=6 संख्याएँ), 3-डिजिट (इकाई स्थान पर 5 या 7, सैकड़ा स्थान पर 0 को छोड़कर शेष 3 में से कोई भी, दहाई स्थान पर शेष 2 में से कोई भी - 2*3*2=12 संख्याएँ)। कुल 2 + 6 + 12 = 20 संख्याएँ।

Key takeaways

1फंडामेंटल काउंटिंग प्रिंसिपल दो स्वतंत्र घटनाओं के कुल तरीकों की गणना के लिए गुणा का उपयोग करता है।
2जब विभिन्न प्रकार के केस हों, तो कुल तरीकों की गणना के लिए जोड़ का उपयोग किया जाता है।
3किसी समस्या को हल करने के लिए गुणा और जोड़ के बीच सही अंतर को समझना महत्वपूर्ण है।
4यात्रा या संख्या निर्माण जैसी समस्याओं में काउंटिंग प्रिंसिपल को लागू किया जा सकता है।
5अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है या नहीं, यह गणना को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है।
6जटिल समस्याओं को छोटे, प्रबंधनीय केस में तोड़ना समाधान खोजने की एक प्रभावी रणनीति है।

Key terms

Fundamental Counting PrincipleEventIndependent EventsMultiplication RuleAddition RulePermutationCombinationRepetition AllowedRepetition Not AllowedOdd Numbers

Test your understanding

1फंडामेंटल काउंटिंग प्रिंसिपल के अनुसार, यदि दो स्वतंत्र इवेंट्स हैं, तो उनके एक साथ होने के कुल तरीकों की गणना कैसे की जाती है?
2गुणा (Multiplication) और जोड़ (Addition) के नियम का उपयोग कब किया जाना चाहिए, और क्यों?
3यदि किसी व्यक्ति के पास दिल्ली से गोवा जाने के 5 अलग-अलग रास्ते हैं और वापसी के लिए 3 अलग-अलग रास्ते हैं, तो वह कितने तरीकों से यात्रा कर सकता है यदि वापसी के लिए उसी रास्ते का उपयोग नहीं करना है?
4अंकों 1, 2, 3, 4, 5 का उपयोग करके, बिना पुनरावृत्ति के, 3-डिजिट की कितनी सम संख्याएँ (even numbers) बनाई जा सकती हैं?