PAIR OF LINEAR EQUATIONS IN 2 VARIABLES - Complete Revision in 10 Minutes 🔥 | Class 10th Board

PW Class 10 - UDAAN

4 chapters5 takeaways13 key terms5 questions

Overview

यह वीडियो क्लास 10वीं के गणित के अध्याय 'दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म' का 10 मिनट में एक संक्षिप्त पुनरीक्षण (revision) है। इसमें अध्याय के मुख्य कॉन्सेप्ट्स, जैसे कि समीकरणों के हल के प्रकार (अद्वितीय, अनंत, कोई हल नहीं), और उन्हें ज्ञात करने की विधियाँ (ग्राफिकल, प्रतिस्थापन, विलोपन) शामिल हैं। वीडियो यह भी बताता है कि कब हल निकालना आवश्यक है और कब नहीं, और कुछ सामान्य वर्ड प्रॉब्लम्स का भी उल्लेख करता है। यह उन छात्रों के लिए एक त्वरित सहायता है जिन्होंने पहले ही अध्याय पढ़ लिया है और मुख्य बिंदुओं को याद करना चाहते हैं।

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Chapters

दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म में दो समीकरणें होती हैं, जिनमें प्रत्येक में दो चर (जैसे x और y) होते हैं और चर की उच्चतम घात 1 होती है।
एकल रैखिक समीकरण के अनंत हल हो सकते हैं, लेकिन इस अध्याय में हम उन हलों पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करते हैं।
समीकरणों का सामान्य रूप a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 है, जहाँ a1, b1, c1 और a2, b2, c2 गुणांक (coefficients) और स्थिरांक (constants) हैं।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि हम किस प्रकार की समस्याओं का सामना कर रहे हैं और समीकरणों का मूल ढांचा क्या है, ताकि हम आगे की विधियों को समझ सकें।

समीकरण 2x + 3y = 5 और 4x + 6y = 10, जहाँ a1=2, b1=3, c1=-5 (या 5 को दूसरी तरफ ले जाकर) और a2=4, b2=6, c2=-10 (या 10 को दूसरी तरफ ले जाकर)।

समीकरणों के हलों की प्रकृति गुणांकों के अनुपात (a1/a2, b1/b2, c1/c2) द्वारा निर्धारित होती है।
यदि a1/a2 ≠ b1/b2 है, तो एक अद्वितीय हल (unique solution) होता है, और रेखाएँ प्रतिच्छेद (intersect) करती हैं।
यदि a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 है, तो अनंत हल (infinite solutions) होते हैं, और रेखाएँ संपाती (coincident) होती हैं (एक के ऊपर एक)।
यदि a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 है, तो कोई हल (no solution) नहीं होता है, और रेखाएँ समांतर (parallel) होती हैं।

यह ज्ञान हमें यह जानने में मदद करता है कि किसी दी गई समीकरण प्रणाली का हल संभव है या नहीं, और यदि है, तो कितने हल संभव हैं, जिससे अनावश्यक गणना से बचा जा सके।

समीकरण 2x + 3y = 5 और 4x + 6y = 10 के लिए, a1/a2 = 2/4 = 1/2, b1/b2 = 3/6 = 1/2, और c1/c2 = -5/-10 = 1/2। चूँकि तीनों अनुपात बराबर हैं, इसलिए अनंत हल होंगे।

ग्राफिकल विधि: दो रेखाओं के ग्राफ बनाकर जहाँ वे प्रतिच्छेद करती हैं, उस बिंदु के निर्देशांक (coordinates) हल होते हैं।
प्रतिस्थापन (Substitution) विधि: एक समीकरण से एक चर का मान निकालकर उसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना।
विलोपन (Elimination) विधि: एक चर के गुणांकों को समान बनाकर और फिर समीकरणों को जोड़कर या घटाकर उस चर को विलुप्त करना।

ये विधियाँ हमें उन हलों को खोजने की अनुमति देती हैं जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, खासकर जब अद्वितीय हल मौजूद हो।

विलोपन विधि का उदाहरण: समीकरण 3x + 2y = 11 और 2x + 3y = 4 को हल करने के लिए, पहली समीकरण को 2 से और दूसरी को 3 से गुणा करके x के गुणांक को 6 बनाया जा सकता है, फिर घटाकर y का मान निकाला जा सकता है।

कुछ प्रश्नों में अज्ञात स्थिरांक (जैसे 'k') होते हैं, और हमें यह निर्धारित करना होता है कि किस मान के लिए अद्वितीय हल, कोई हल या अनंत हल होंगे।
वर्ड प्रॉब्लम्स (जैसे आयु, लागत, या दो-अंकीय संख्या पर आधारित) को हल करने के लिए पहले उन्हें दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलना पड़ता है।
जब किसी सिस्टम के अनंत हल या कोई हल न हो, तो हमें उन हलों को निकालने की आवश्यकता नहीं होती है, केवल अद्वितीय हल के मामले में ही गणना की जाती है।

यह अध्याय वास्तविक जीवन की समस्याओं को गणितीय रूप में प्रस्तुत करने और उन्हें हल करने के लिए एक ढाँचा प्रदान करता है।

एक वर्ड प्रॉब्लम जहाँ दो वस्तुओं की कुल लागत दी गई हो और उनके बीच का अंतर दिया गया हो, उसे दो चर वाले रैखिक समीकरणों में बदला जा सकता है।

Key takeaways

1दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म का अध्ययन हमें उन स्थितियों को मॉडल करने में मदद करता है जहाँ दो अज्ञात राशियाँ एक-दूसरे से संबंधित होती हैं।
2गुणांकों के अनुपातों की तुलना करके हम समीकरण प्रणाली के हलों की संख्या (अद्वितीय, अनंत, या कोई नहीं) का अनुमान लगा सकते हैं।
3ग्राफिकल, प्रतिस्थापन और विलोपन विधियाँ हमें समीकरणों के अद्वितीय हल को खोजने के लिए व्यावहारिक उपकरण प्रदान करती हैं।
4यह जानना महत्वपूर्ण है कि कब हल निकालना आवश्यक है (अद्वितीय हल) और कब नहीं (अनंत या कोई हल नहीं)।
5वर्ड प्रॉब्लम्स को हल करने के लिए उन्हें रैखिक समीकरणों के युग्म में परिवर्तित करना एक महत्वपूर्ण skill है।

Key terms

Pair of Linear Equations in 2 VariablesLinear EquationUnique SolutionInfinite SolutionsNo SolutionCoincident LinesIntersecting LinesParallel LinesSubstitution MethodElimination MethodGraphical MethodCoefficientsConstants

Test your understanding

1दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के हलों की प्रकृति को गुणांकों के अनुपातों से कैसे संबंधित किया जा सकता है?
2प्रतिस्थापन विधि और विलोपन विधि के बीच मुख्य अंतर क्या हैं, और आप कब एक विधि को दूसरी पर चुनेंगे?
3यदि किसी समीकरण प्रणाली के अनंत हल हैं, तो ग्राफ पर इसका क्या अर्थ होता है?
4एक वर्ड प्रॉब्लम को दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलने के लिए आप क्या कदम उठाएंगे?
5यह निर्धारित करने के लिए कि क्या किसी समीकरण प्रणाली का हल निकालना आवश्यक है, आप किन शर्तों की जाँच करेंगे?