Engineering Mathematics 01 | Linear Algebra : Lets Play with Determinant | GATE - For All Branches

GATE Wallah

8 chapters7 takeaways15 key terms5 questions

Overview

यह वीडियो इंजीनियरिंग मैथमेटिक्स के एक महत्वपूर्ण विषय, लीनियर अलजेब्रा, के पहले टॉपिक, डिटर्मिननेंट्स, का विस्तृत परिचय देता है। इसमें डिटर्मिननेंट्स की परिभाषा, स्क्वायर और रेक्टेंगुलर मैट्रिक्स के बीच अंतर, और डिटर्मिननेंट्स की गणना के विभिन्न तरीके समझाए गए हैं। वीडियो 2x2 और 3x3 मैट्रिक्स के लिए गणना विधियों, डायगोनल, अपर ट्रायंगुलर और लोअर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स के विशेष मामलों, और 3x3 मैट्रिक्स के लिए एक शॉर्टकट विधि पर प्रकाश डालता है। इसके अतिरिक्त, यह रोटेशन के कॉन्सेप्ट और माइनर व को-फैक्टर की गणना जैसी उन्नत अवधारणाओं को भी कवर करता है, साथ ही डिटर्मिननेंट्स की कुछ महत्वपूर्ण प्रॉपर्टीज भी बताता है।

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Chapters

इंजीनियरिंग मैथमेटिक्स, विशेष रूप से लीनियर अलजेब्रा, GATE परीक्षा के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।
यह कोर्स कॉन्सेप्ट्स को इस तरह से कवर करेगा कि छात्र परीक्षा में आत्मविश्वास महसूस करें।
लेखक, विशाल सोनी, जिन्होंने इंजीनियरिंग सर्विसेज परीक्षा दो बार क्वालीफाई की है, इस विषय को आसान बनाने पर जोर देते हैं।
इंजीनियरिंग मैथमेटिक्स 13 अंकों का होता है, जिसमें से 11-12 अंक आसानी से स्कोर किए जा सकते हैं।

यह खंड छात्रों को इंजीनियरिंग मैथमेटिक्स के महत्व और इस कोर्स से अपेक्षित लाभों को समझने में मदद करता है, जिससे वे सीखने के लिए प्रेरित होते हैं।

लेखक ने अपनी इंजीनियरिंग सर्विसेज परीक्षा की रैंक (2014 में 19वीं और 2015 में 25वीं) का उल्लेख किया।

लीनियर अलजेब्रा के सिलेबस में डिटर्मिननेंट्स, मैट्रिक्स, रैंक, सिस्टम ऑफ लीनियर इक्वेशन, आइगेन वैल्यूज और आइगेन वेक्टर्स शामिल हैं।
डिटर्मिननेंट्स लीनियर अलजेब्रा का एक foundational टॉपिक है, जो मैट्रिक्स की रैंक, सिस्टम ऑफ लीनियर इक्वेशन को हल करने और आइगेन वैल्यूज/वेक्टर्स की गणना जैसे कई अन्य ऑपरेशन्स के लिए आवश्यक है।
मैट्रिक्स को समझने के लिए डिटर्मिननेंट्स की स्पष्ट समझ होना महत्वपूर्ण है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि डिटर्मिननेंट्स केवल एक अलग टॉपिक नहीं है, बल्कि लीनियर अलजेब्रा के अन्य सभी महत्वपूर्ण अवधारणाओं की नींव है।

रैंक की गणना, सिस्टम ऑफ लीनियर इक्वेशन को हल करना, और आइगेन वैल्यूज/आइगेन वेक्टर्स की गणना में डिटर्मिननेंट्स की आवश्यकता का उल्लेख।

मैट्रिक्स के दो मुख्य प्रकार हैं: स्क्वायर मैट्रिक्स (जहां पंक्तियों की संख्या कॉलम के बराबर होती है, R x C जहाँ R=C) और रेक्टेंगुलर मैट्रिक्स (जहां पंक्तियों की संख्या कॉलम के बराबर नहीं होती, R x C जहाँ R≠C)।
डिटर्मिननेंट केवल स्क्वायर मैट्रिक्स के लिए ही कैलकुलेट किया जा सकता है।
मैट्रिक्स को सामान्यतः स्क्वायर ब्रैकेट [] से दर्शाया जाता है, जबकि डिटर्मिननेंट को दो सीधी लाइनों || के बीच दर्शाया जाता है (जो मोड जैसा दिखता है)।

यह खंड छात्रों को मैट्रिक्स के प्रकारों को पहचानने और यह समझने में मदद करता है कि डिटर्मिननेंट की गणना केवल विशिष्ट प्रकार की मैट्रिक्स के लिए ही क्यों संभव है।

1 2 3 4 5 6 -1 -2 0 (3x3 स्क्वायर मैट्रिक्स) और 0 1 2 1 2 7 (2x3 रेक्टेंगुलर मैट्रिक्स) का उदाहरण।

2x2 मैट्रिक्स के लिए, डिटर्मिननेंट की गणना (ad - bc) सूत्र से की जाती है, जहाँ मैट्रिक्स [a b; c d] है।
3x3 मैट्रिक्स के डिटर्मिननेंट की गणना किसी भी रो या कॉलम के अलोंग एक्सपेंड करके की जा सकती है, जिसमें अल्टरनेटिंग प्लस और माइनस साइन का उपयोग होता है।
2x2 मैट्रिक्स के एक्सपेंशन में 2! (2) टर्म्स होते हैं, और 3x3 मैट्रिक्स के एक्सपेंशन में 3! (6) टर्म्स होते हैं।

यह खंड छात्रों को सबसे आम मैट्रिक्स आकारों के लिए डिटर्मिननेंट की गणना करने की बुनियादी विधियों से परिचित कराता है।

2x2 मैट्रिक्स [1 3; 2 4] का डिटर्मिननेंट (1*4 - 3*2 = -2) और 3x3 मैट्रिक्स के लिए एक्सपेंशन विधि का प्रदर्शन।

किसी n x n मैट्रिक्स के डिटर्मिननेंट के एक्सपेंशन के बाद अधिकतम n! टर्म्स हो सकते हैं।
डायगोनल मैट्रिक्स, अपर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स और लोअर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स के डिटर्मिननेंट्स उनके प्रिंसिपल डायगोनल एलिमेंट्स के गुणनफल के बराबर होते हैं।
इन विशेष मैट्रिक्स के लिए, प्रिंसिपल डायगोनल के नीचे या ऊपर के एलिमेंट्स के जीरो होने की शर्त महत्वपूर्ण है।

यह खंड गणना को सरल बनाने के लिए विशेष मैट्रिक्स प्रकारों की पहचान और उनके डिटर्मिननेंट्स की गणना के लिए शॉर्टकट प्रदान करता है।

डायगोनल मैट्रिक्स [5 0 0; 0 2 0; 0 0 1] का डिटर्मिननेंट 5*2*1 = 10 होगा।

3x3 मैट्रिक्स के डिटर्मिननेंट की गणना के लिए एक शॉर्टकट विधि है जिसमें पहले दो कॉलम को मैट्रिक्स के आगे कॉपी किया जाता है।
डायगोनल (डाउनवर्ड) गुणनफलों को जोड़ा जाता है और फिर एंटी-डायगोनल (अपवर्ड) गुणनफलों को घटाया जाता है।
यह शॉर्टकट केवल 3x3 मैट्रिक्स के लिए मान्य है और बड़ी मैट्रिक्स के लिए इसका उपयोग नहीं करना चाहिए।

यह विधि 3x3 मैट्रिक्स के लिए डिटर्मिननेंट की गणना को बहुत तेज और कुशल बनाती है, जो परीक्षा में समय बचाने में सहायक है।

मैट्रिक्स [1 2 1; 2 3 1; 0 1 1] के लिए शॉर्टकट विधि का प्रदर्शन।

एक विशेष पैटर्न वाली मैट्रिक्स (जैसे 1, अल्फा, 0, 0 और 0, 0, 1, अल्फा) के लिए डिटर्मिननेंट की गणना 1 - अल्फा^2 के स्क्वायर के रूप में की जा सकती है।
यह पैटर्न केवल इवन-ऑर्डर (2x2, 4x4, 6x6, आदि) मैट्रिक्स पर लागू होता है, क्योंकि इसमें एलिमेंट्स को एक-दूसरे की ओर 'रोटेट' करने की आवश्यकता होती है।
यह पैटर्न अक्सर GATE परीक्षा में करैक्टेरिस्टिक इक्वेशन या अन्य संबंधित समस्याओं में पूछा जाता है।

यह खंड छात्रों को जटिल दिखने वाली मैट्रिक्स में पैटर्न पहचानने और त्वरित गणना करने की क्षमता विकसित करने में मदद करता है।

4x4 मैट्रिक्स [1 0 0 अल्फा; 0 1 अल्फा 0; 0 अल्फा 1 0; अल्फा 0 0 1] का डिटर्मिननेंट 1 - अल्फा^2 का होल स्क्वायर होगा।

किसी एलिमेंट का माइनर उस एलिमेंट के रो और कॉलम को हटाकर बची हुई सब-मैट्रिक्स का डिटर्मिननेंट होता है।
किसी एलिमेंट का को-फैक्टर (-1)^(i+j) * माइनर(i,j) होता है, जहाँ i रो इंडेक्स और j कॉलम इंडेक्स है।
डिटर्मिननेंट की महत्वपूर्ण प्रॉपर्टीज में शामिल हैं: यदि दो रो/कॉलम आइडेंटिकल या प्रोपोर्शनल हों तो डिटर्मिननेंट शून्य होता है; यदि कोई रो/कॉलम पूरी तरह से शून्य हो तो डिटर्मिननेंट शून्य होता है; रो/कॉलम को इंटरचेंज करने से डिटर्मिननेंट का साइन बदल जाता है; डिटर्मिननेंट(A) = डिटर्मिननेंट(A^T) = 1/डिटर्मिननेंट(A^-1)।

यह खंड डिटर्मिननेंट गणना के लिए आवश्यक सहायक अवधारणाओं (माइनर, को-फैक्टर) को स्पष्ट करता है और उन प्रॉपर्टीज को बताता है जो गणना को सरल बना सकती हैं या सीधे उत्तर तक पहुंचा सकती हैं।

3x3 मैट्रिक्स में एलिमेंट a23 का को-फैक्टर ज्ञात करना।

Key takeaways

1डिटर्मिननेंट केवल स्क्वायर मैट्रिक्स के लिए ही परिभाषित होता है।
22x2 और 3x3 मैट्रिक्स के लिए डिटर्मिननेंट गणना की विधियों को समझना महत्वपूर्ण है।
3डायगोनल, अपर ट्रायंगुलर और लोअर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स के डिटर्मिननेंट्स उनके डायगोनल एलिमेंट्स के गुणनफल के बराबर होते हैं।
43x3 मैट्रिक्स के लिए सरस रूल (सरस रूल) डिटर्मिननेंट गणना को बहुत तेज कर देता है।
5कुछ विशेष पैटर्न वाली इवन-ऑर्डर मैट्रिक्स के डिटर्मिननेंट्स को रोटेशन कॉन्सेप्ट का उपयोग करके आसानी से निकाला जा सकता है।
6डिटर्मिननेंट की प्रॉपर्टीज, जैसे कि रो/कॉलम इंटरचेंज या शून्य रो/कॉलम की उपस्थिति, गणना को सरल बना सकती हैं।
7माइनर और को-फैक्टर, डिटर्मिननेंट गणना और संबंधित अवधारणाओं के लिए महत्वपूर्ण सहायक उपकरण हैं।

Key terms

Linear AlgebraDeterminantMatrixSquare MatrixRectangular MatrixRowColumnPrincipal DiagonalUpper Triangular MatrixLower Triangular MatrixDiagonal MatrixMinorCo-factorTransposeInverse

Test your understanding

1स्क्वायर मैट्रिक्स और रेक्टेंगुलर मैट्रिक्स के बीच मुख्य अंतर क्या है और डिटर्मिननेंट की गणना किस प्रकार की मैट्रिक्स के लिए की जा सकती है?
22x2 मैट्रिक्स [a b; c d] का डिटर्मिननेंट कैसे कैलकुलेट किया जाता है?
3डायगोनल मैट्रिक्स, अपर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स और लोअर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स के डिटर्मिननेंट्स की गणना करने की विधि क्या है?
43x3 मैट्रिक्स के डिटर्मिननेंट की गणना के लिए शॉर्टकट विधि (सरस रूल) को समझाइए।
5डिटर्मिननेंट की वह प्रॉपर्टी क्या है जो बताती है कि यदि किसी मैट्रिक्स की दो रो या दो कॉलम आइडेंटिकल या प्रोपोर्शनल हों तो डिटर्मिननेंट का मान क्या होता है?